Jya -- How the Indian Sine Became the Global Sine

जिस भी विद्यार्थी ने JEE Main की त्रिकोणमिति का प्रश्न हल किया है, वह एक छिपा हुआ संस्कृत शब्द प्रयोग करता आया है। वह शब्द है साइन। अंग्रेज़ी में वह निर्दोष दिखता है, कोसाइन या टैंजेण्ट जैसा एक तीन-अक्षरीय प्रकार्य। पर उसकी पूरी व्युत्पत्ति एक हज़ार वर्ष पुराना टेलीफ़ोन खेल है, जो उस संस्कृत शब्द से आरम्भ हुआ जिसे भारतीय ऋषि धनुर्धर के धनुष की डोर के लिए प्रयोग करते थे।

वह शब्द था ज्या। संस्कृत में उसका शाब्दिक अर्थ है प्रत्यंचा। खींचे हुए धनुष की कल्पना करो। धनुष स्वयं काठ का मुड़ा हुआ टुकड़ा है, चाप। जब धनुर्धर डोर को तंग खींचता है, तो डोर धनुष के दो छोरों के आर-पार सीधी रेखा बनाती है। मुड़ा काठ चाप है; तंग डोर उस चाप की जीवा है। प्राचीन भारतीय गणितज्ञों ने वृत्त को ठीक इसी दृष्टि से देखा। उन्होंने केन्द्र से एक त्रिज्या खींची, किसी कोण पर दूसरी त्रिज्या खींची, दोनों छोरों को सीधी रेखा से जोड़ा, और उस जोड़ने वाली रेखा को उस चाप की ज्या कहा। पूरी जीवा। वक्र के आर-पार की प्रत्यंचा।

यह विचार भारत का अकेला नहीं था। यूनानियों के पास भी यही सोच थी, और हिप्पार्कस से लेकर उनकी जीवा तालिकाएँ चली आ रही थीं। पर भारत में पाँचवीं सदी ईस्वी के आस-पास कुछ महत्वपूर्ण घटा। भारतीय गणितज्ञों ने पूरी जीवा के साथ काम करना छोड़कर आधी जीवा के साथ काम करना शुरू कर दिया -- अर्ध-ज्या। उन्होंने जीवा के मध्यबिन्दु से केन्द्र तक लम्ब खींचा, जीवा को ठीक आधी में काटा, और देखा कि दोनों आधे भाग एक-एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। समकोण त्रिभुज के साथ गणना सरल थी। इस एक सरल ज्यामितीय चाल से आधुनिक साइन प्रकार्य जन्मा। किसी कोण की अर्ध-जीवा ठीक वही है जिसे हम आज sin-θ कहते हैं। यूरोप को उसी चीज़ को पूरी तरह अपनाने में और बारह सौ वर्ष लगे जो आर्यभट ने ४९९ ईस्वी में लिख दी थी।

वह श्लोक गणित के इतिहास के सबसे सघन सूचना-खण्डों में से एक है। वह एक पूरी साइन तालिका है जो एक ही श्लोक में समाहित है, उस अक्षर-अंक पद्धति का प्रयोग करके जिसे आर्यभट ने ठीक इसी काम के लिए गढ़ा। मखि या भखि जैसा प्रत्येक अक्षर-समूह एक विशिष्ट संख्या खोलता है। खोलने पर वह चौबीस ज्या-अन्तर देता है जो मिलकर साइन वक्र को ० अंश से ९० अंश तक ३ अंश ४५ कला -- अर्थात् २२५ कला -- के चरणों में वर्णित करते हैं। इसीलिए पहली संख्या स्वयं २२५ है।

अब उल्लेखनीय बात। आर्यभट ने साइन मान आधुनिक दशमलव रूप में नहीं दिए, क्योंकि जिन दशमलवों को हम जानते हैं, वे अभी अस्तित्व में न थे। उन्होंने साइन मान सीधी रेखा की लम्बाई के रूप में दिए, कला में, अपने सन्दर्भ वृत्त की त्रिज्या R = ३४३८ लेकर। ३४३८ क्यों? क्योंकि जब तुम π को ३.१४१६ लो और R इस प्रकार निकालो कि परिधि २πR बराबर हो ३६० अंश गुणा ६० कला के, तो R निकलता है ३४३८ कला। अर्थात् उनकी पद्धति में एक रेडियन बराबर है ३४३८ कला के। उनका ३० अंश का साइन निकलता है १७१९ कला -- जो ठीक ३४३८ का आधा है, और sin-३० = ०.५ के आधुनिक मान से तीन दशमलव स्थानों तक मेल खाता है।

आर्यभट का sin(९०) का वास्तविक मान, पूर्ण त्रिज्या, ३४३८ कला था। sin(३०) का मान १७१९ कला। किसी को भी ३४३८ से भाग दो और आधुनिक साइन ३४३८ के एक भाग के भीतर पुनः प्राप्त कर लो। यह वैसी सटीकता है जैसी १९८० के दशक तक वैज्ञानिक कैलकुलेटर देते थे। पुणे या पटना में आज कक्षा १० में त्रिकोणमिति सीखता विद्यार्थी इसी एक श्लोक की विरासत से खेल रहा है।

अब व्युत्पत्ति। ज्या कैसे साइन बनी, यह भाषाई इतिहास की सबसे प्रसिद्ध दुर्घटनाओं में से एक है।

आर्यभट के बाद लगभग तीन शताब्दियों तक भारतीय खगोलीय और गणितीय ग्रन्थ अरब सागर के व्यापार मार्गों से व्यापक रूप से प्रसारित होते रहे। नौवीं सदी तक बगदाद विद्वत्ता का प्रमुख केन्द्र बन गया था, और अब्बासी खलीफाओं के संरक्षण में अरब विद्वान संस्कृत कृतियों का अरबी में सक्रिय अनुवाद कर रहे थे। जब उन्होंने ज्या शब्द का -- या अधिक सटीक रूप से जीवा, उसी अर्ध-जीवा के लिए एक और संस्कृत शब्द -- अनुवाद किया, तो उसे अरबी में जीबा के रूप में लिप्यान्तरित किया। पर अरबी लिपि ह्रस्व स्वर नहीं लिखती, इसलिए जीबा केवल व्यंजनों ज-ब से लिखा गया। बाद का कोई अरब पाठक, पन्ने पर ज-ब देखकर और न जानकर कि यह लिप्यान्तरित संस्कृत शब्द है, उसे जैब पढ़ा -- एक वास्तविक अरबी शब्द जिसका अर्थ है खाड़ी, वस्त्र की वक्षस्थल पर तह, जिसे कभी-कभी वक्ष भी अनुवादित कर दिया जाता है।

बारहवीं सदी में जब स्पेन के यूरोपीय विद्वान इन अरबी गणितीय कृतियों का लातिन में अनुवाद करने लगे, उन्होंने जैब को देखा। उन्होंने उसके संस्कृत मूल को पहचानने के बजाय उसके अरबी अर्थ का अनुवाद किया। खाड़ी या तह का लातिन शब्द है साइनस। और इस प्रकार साइनस शब्द यूरोपीय गणित में प्रवेश कर गया। साइनस से अंग्रेज़ी का साइन, फ़्रांसीसी का साइनुस, जर्मन का ज़ीनुस, और आज साइन प्रयोग करने वाली हर भाषा का वंशज निकलता है।

यह सुन्दर दुर्घटना है। हर बार जब विद्यार्थी sin(x) लिखता है, वह एक संस्कृत शब्द का लातिनीकृत अरबी ग़लत-अनुवाद लिख रहा होता है -- एक ऐसा शब्द जिसका मूल अर्थ था धनुर्धर की डोर। वास्तविक गणितीय अर्थ पूरी श्रृंखला के हर कदम पर अविकल बचा रहा। व्युत्पत्तिगत अर्थ अरबी-से-लातिन के हस्तान्तरण पर उलझ गया और फिर कभी ठीक न हुआ। इसीलिए संस्कृत शब्द ज्या और अंग्रेज़ी शब्द साइन असम्बन्धित दिखते हैं, यद्यपि वे ठीक एक ही वस्तु को सूचित करते हैं।

ऊपर की तालिका देखो। उसमें एक शैक्षिक बिन्दु छिपा है जिसे आधुनिक गणित शिक्षा लगभग भूल चुकी है।

जब ग़ाज़ियाबाद का कक्षा ११ का विद्यार्थी पाठ्यपुस्तक खोलकर साइन की परिभाषा -- सामने की भुजा बटा कर्ण -- देखता है, तो पहली प्रतिक्रिया प्रायः शून्य होती है। प्रतीक मनमाने हैं। मन में कोई चित्र नहीं बनता। पर यदि उसी विद्यार्थी को बताया जाए कि साइन चाप की अर्ध-जीवा है, जैसे खींचे हुए धनुष की प्रत्यंचा जिसे धनुष के केन्द्र से एक रेखा ठीक आधी में काट देती है -- तो चित्र तत्काल बनता है। और एक बार चित्र बन जाए, तो सूत्र रटने का नियम नहीं रह जाता। वह देखने की ज्यामितीय अवलोकन बन जाता है।

इसीलिए संस्कृत शब्दावली इतनी शक्तिशाली थी। भुज का अर्थ है बाहु। वह शाब्दिक रूप से त्रिभुज की बाहु है, ज़मीन से सीधे खड़ी भुजा। कोटि का अर्थ है ऊर्ध्व, तना या धड़। कर्ण वह विकर्ण है जो एक कोने से दूसरे कोने तक तनता है। ज्या प्रत्यंचा है। शर बाण है। कोज्या पूरक प्रत्यंचा है, वह जो मुख्य के लम्बवत हो। जो विद्यार्थी ये नाम सीखता है, वह एक पूरा भौतिक दृश्य सीखता है -- धनुर्धर, धनुष, खिंची हुई डोर, उड़ता हुआ बाण -- और उस दृश्य से सूत्र स्वाभाविक रूप से निकल पड़ते हैं।

यही एक कारण है कि परम्परागत काल की भारतीय गणित शिक्षा रटे हुए श्लोकों के द्वारा जटिल परिणाम आगे बढ़ाने में इतनी प्रभावी थी। श्लोक कभी केवल नियम न था। वह चित्र के भीतर लिपटा हुआ नियम था।

आर्यभट कथा का अन्त नहीं थे। वे आरम्भ थे।

६२८ ईस्वी में ब्रह्मगुप्त ने ब्रह्मस्फुट सिद्धान्त रचा और आर्यभट की साइन तालिका को परिष्कृत किया। नौवीं सदी में खगोलशास्त्री गोविन्दस्वामी ने तालिकाबद्ध मानों के बीच के कोणों पर साइन निकालने के लिए प्रक्षेप सूत्र विकसित किए। दसवीं सदी में वटेश्वर ने २२५ कला के बजाय २२५ विकला के अन्तरालों पर सुधरी साइन तालिका दी -- यह परिशुद्धता में साठ-गुणा वृद्धि थी। जब भास्कर द्वितीय ने ११५० ईस्वी में सिद्धान्त शिरोमणि लिखा, तब तक भारतीय त्रिकोणमिति ने विशिष्ट तादात्म्य विकसित कर लिए थे जिन्हें हम आज साइन योग सूत्र के नाम से पढ़ाते हैं -- sin(A+B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)। भास्कर ने इस सूत्र को संस्कृत छन्द में कहा और ज्यामितीय रूप से सिद्ध किया, यूरोपीय पाठ्यपुस्तकों द्वारा इसी तादात्म्य को मानकीकृत करने से छह शताब्दी पूर्व।

फिर परम्परा का चरम आया। चौदहवीं सदी में मलाबार तट के सङ्गमग्राम नामक ग्राम में माधव नामक गणितज्ञ ने एक असाधारण कार्य किया। उन्होंने खोज निकाला कि कोण का साइन अनन्त श्रेणी के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ प्रत्येक अगला पद क्रमशः छोटे सुधार जोड़ता है, और जितने पद तुम जोड़ते जाओ उतना सत्य मान के निकट पहुँचते जाओ। आधुनिक संकेतन में उनका परिणाम है: sin(x) = x -- x-घन बटा ३-क्रमगुणन + x-पञ्चम बटा ५-क्रमगुणन -- x-सप्तम बटा ७-क्रमगुणन, और आगे भी। यूरोपीय गणित ने वही सूत्र तीन शताब्दी बाद खोजा, न्यूटन, लीब्निज़ और जेम्स ग्रेगोरी के द्वारा। केरल शाखा पहले पहुँची। यह राष्ट्रवादी दावा नहीं है। यह वही है जो प्राथमिक स्रोत कहते हैं, और जो गणित के इतिहासकारों -- किम प्लोफ़कर, रञ्जन रॉय, डेविड ब्रेसॉड -- ने पिछले पाँच दशकों में सावधान पाठीय विश्लेषण से स्थापित किया है।

वह श्लोक, आधुनिक संकेतन में अनुवादित होने पर, साइन प्रकार्य के लिए टेलर श्रेणी देता है। माधव के उत्तराधिकारी नीलकण्ठ सोमयाजी ने १५०० ईस्वी में लिखते हुए इसका श्रेय माधव को दिया, और यह तन्त्रसङ्ग्रह-व्याख्या टीका में सुरक्षित है। श्रेणी का प्रमाण, मलयालम गद्य में ज्यामितीय तर्क को क्रमशः बढ़ाते हुए, ज्येष्ठदेव ने लगभग १५३० में युक्तिभाषा में दिया। दो स्वतन्त्र उत्तराधिकारी ग्रन्थ, दोनों माधव को स्रोत के रूप में नाम देते हुए। किसी भी प्राचीन परम्परा में जितना ठोस आरोपण हो सकता है, उतना यह है।

जो ऐतिहासिक प्रश्न विद्वानों को सी. एम. व्हिश द्वारा १८३५ में केरल के परिणाम यूरोप को पहली बार रिपोर्ट करने के समय से ही उलझाता आया है, वह है: क्या यह भारतीय कार्य किसी तरह यूरोप के कलन-खोजकर्ताओं तक पहुँचा? सोलहवीं और सत्रहवीं सदी में केरल में जेसुइट मिशनरी सक्रिय थे। वे पुर्तगाल, इटली और फ़्रांस से आए, स्थानीय भाषाएँ सीखीं, और यूरोप को रिपोर्ट भेजीं। इतिहासकारों ने सम्भावित सम्प्रेषण चैनलों का परिस्थितिजन्य साक्ष्य पाया है, पर कोई निर्णायक प्रमाण नहीं। किम प्लोफ़कर ने अपनी २००९ की पुस्तक Mathematics in India में सावधान निर्णय दिया: सम्प्रेषण सम्भव है पर सिद्ध नहीं। जो सिद्ध है वह यह कि गणित पहले भारत में हुआ।

यह भेद महत्वपूर्ण है। माधव की प्राथमिकता स्थापित करने के लिए हमें यह दावा नहीं करना चाहिए कि न्यूटन ने माधव के श्लोक पढ़े थे। प्राथमिकता अपने आप खड़ी है। माधव ने तीन शताब्दी पहले लिख दिया था। विचार यात्रा करके गया या स्वतन्त्र रूप से पुनः खोजा गया, यह इतिहासकारों के लिए अलग प्रश्न है। दोनों दशाओं में, केरल शाखा की उपलब्धि अद्वितीय है: मानव बौद्धिक इतिहास में त्रिकोणमितीय प्रकार्यों के लिए प्रथम पूर्णतः विकसित अनन्त श्रेणी।

यह महत्वपूर्ण है क्योंकि साइन प्रकार्य कोई संग्रहालय की वस्तु नहीं है। यह आधुनिक अभियान्त्रिकी में सबसे अधिक प्रयुक्त गणितीय वस्तु है। प्रत्येक दोलन-संकेत -- रेडियो, ध्वनि, प्रकाश, AC विद्युत, भूकम्प तरंगें, शेयर बाज़ार चक्र -- फ़ूरियर विश्लेषण से साइन तरंगों में विश्लेषित किया जाता है। प्रत्येक GPS उपग्रह, जिसमें भारत का NavIC समूह भी है, वास्तविक समय में गोलीय त्रिकोणमिति से अपनी स्थिति निकालता है। श्रीहरिकोटा से ISRO का प्रत्येक प्रक्षेपण उड़ान सॉफ़्टवेयर में निहित साइन तालिकाओं से पथ सुधार गणित करता है। प्रत्येक Wi-Fi राउटर साइन वाहक तरंग को मॉड्यूलेट करता है। JEE Main के प्रत्येक प्रश्न-पत्र में कम से कम छह प्रश्न ऐसे होते हैं जहाँ sin(x) स्पष्ट रूप से आता है या किसी गणना में छिपा होता है।

जब IIT मद्रास की विद्यार्थिनी अदयार में अपने लैपटॉप पर कम्पन-विश्लेषण समस्या हल करती है, वह माधव की अनन्त श्रेणी का प्रयोग कर रही होती है। जिस टेलर प्रसार से उसका पायथन कम्पाइलर किसी भी इनपुट पर प्रकार्य का मान निकालता है, वह वही श्रेणी है जो माधव ने १३७५ में मलाबार में लिखी थी। सम्भवतः उसे यह मालूम नहीं। सम्भवतः उसके अधिकांश प्राध्यापक इसका उल्लेख नहीं करते। श्रेणी बस अन्तर्निहित प्रकार्य है। पर यदि वह किसी भी कम्प्यूटर बीजगणित प्रणाली -- Mathematica, SymPy, Maple -- का स्रोत कोड खोले और sin की गणना कैसे होती है, उसकी काल-स्टैक का अनुसरण करे, तो उसे वह अनन्त श्रेणी मिलेगी। लिखे जाने के छह सौ पचास वर्ष बाद, वह श्रेणी हर स्मार्टफोन में चल रही है।

यहाँ की निरन्तरता रस्मी नहीं है। यह कार्यशील कोड है।

बौद्धिक ईमानदारी पर एक बात। भारतीय गणित का इतिहास असाधारण है, पर दोनों दिशाओं से बुरे कथा-वाचन ने उसे क्षति पहुँचाई है।

एक ओर, औपनिवेशिक युग के यूरोपीय इतिहास-लेखन ने भारतीय योगदानों को कम करके दिखाया या अनदेखा किया। केरल शाखा के परिणाम व्हिश के १८३५ के शोध पत्र में उपलब्ध थे पर लगभग एक शताब्दी तक उन्हें सत्य होने के लिए बहुत चौंकाने वाला मानकर नकार दिया गया। जब बीसवीं सदी में युक्तिभाषा का अन्ततः अनुवाद हुआ, तो क्षेत्र को एक ऐसी पूरी परम्परा की पुनर्रचना करनी पड़ी जो खुले में छिपी हुई थी। इस पक्षपात ने वास्तविक क्षति की। संसार भर के लाखों विद्यार्थी आज भी यही सीखते हैं कि कलन का आविष्कार १६७० के दशक में यूरोप में हुआ, और कुछ नहीं -- बिना जाने कि केन्द्रीय श्रेणी प्रसार केरल में तीन सौ वर्ष पहले प्रकाशित हो चुके थे।

दूसरी ओर, अति-सुधार भी समस्या है। विशेष रूप से व्हाट्सऐप फ़ॉरवर्ड और यूट्यूब शॉर्ट्स में यह दावा करना लुभावना है कि वेदों में पहले से ही पूरा आधुनिक गणित था, कि ऋषि मनुष्य को अग्नि का ज्ञान होने से पहले कलन जानते थे, कि आर्यभट की साइन तालिका सिद्ध करती है कि प्राचीन भारतीयों के पास कम्प्यूटर थे। ये दावे टिकाऊ नहीं हैं। वे वास्तविक उपलब्धि को उससे आगे बढ़ाकर अपमानित करते हैं जो ग्रन्थ स्वयं कहते हैं। वेदों में कलन नहीं है। आर्यभट के पास कम्प्यूटर नहीं था। उनके पास काग़ज़, स्वच्छ मन, और उल्लेखनीय ज्यामितीय अन्तर्ज्ञान था -- और यही मानव इतिहास की प्रथम साइन तालिका बनाने के लिए पर्याप्त था।

टिकाऊ स्थिति मज़बूत है। आर्यभट ने ४९९ ईस्वी में प्रथम व्यवस्थित साइन तालिका लिखी। ब्रह्मगुप्त, भास्कर द्वितीय, और केरल के आचार्यों ने नौ सौ वर्षों में उसे परिष्कृत किया। माधव ने यूरोप से तीन शताब्दी पूर्व साइन, कोसाइन और आर्कटैन के लिए अनन्त श्रेणी खोज निकालीं। यह सब जीवित संस्कृत पाण्डुलिपियों में प्रलेखित है जिन्हें आधुनिक विद्वानों ने पढ़ा, अनुवाद किया, और प्रकाशित किया। किसी अलंकरण की आवश्यकता नहीं। सादे तथ्य ही पर्याप्त रूप से चकित करने वाले हैं।

तो जब तुम अपना कैलकुलेटर उठाते हो या फोन पर Wolfram Alpha खोलते हो, और कक्षा १२ की भौतिकी की समस्या के लिए sin(३७ अंश) डालते हो, एक क्षण रुको।

प्रकार्य का नाम sin एक संस्कृत शब्द के अरबी लिप्यान्तरण का लातिन ग़लत-अनुवाद है, जिसका अर्थ था प्रत्यंचा। इस प्रकार्य की व्यवस्थित गणना करने वाले पहले व्यक्ति तेईस वर्ष के एक गणितज्ञ थे जिनका नाम आर्यभट था, जो आज के बिहार में ४९९ ईस्वी में कार्यरत थे। तुम्हारा कैलकुलेटर जिस कलन-विधि से प्रकार्य का मान निकालता है, वह उस अनन्त श्रेणी पर आधारित है जिसे केरल में १३०० के दशक के अन्त में पहली बार माधव ने लिखा था। अन्तिम उत्तर की सटीकता लगभग वही है जो आर्यभट ने ४९९ में पाई थी, क्योंकि अन्तर्निहित गणित मौलिक रूप से नहीं बदला। वह मात्र पॉलिश किया गया, विस्तारित हुआ, और रटे हुए श्लोकों से सिलिकॉन चिप्स पर पहुँच गया।

जब सितम्बर २०१४ में मंगलयान मंगल की कक्षा में पहुँचा, तो मिशन की पथ गणना गोलीय त्रिकोणमितीय तालिकाओं का प्रयोग कर रही थी जिनका वंश आर्यभट और भास्कर तक जाता है। जब अगस्त २०२३ में चन्द्रयान ३ ने चन्द्र के दक्षिण ध्रुव के निकट कोमल अवतरण किया, तो अवतरण कलन-विधि ऐसी समीकरणें हल कर रही थी जिनकी संख्यात्मक बुनियाद केरल के गणितज्ञों ने श्लोकों में डाली थी। यह उपमा नहीं है। यह कम्प्यूटर-सत्यापनीय तथ्य है। संस्कृत गणित, छन्द में लिखा, आज चुपचाप सिलिकॉन पर चल रहा है -- बेंगलुरु के ISRO नियन्त्रण कक्षों में, भारत के हर स्मार्टफोन GPS में, हर CBSE विद्यालय की हर कक्षा १० की त्रिकोणमिति परीक्षा में।

ऋषियों ने भविष्य का पूर्वकथन नहीं किया। उन्होंने ऐसे उपकरण बनाए जिनकी भविष्य को ज़रूरत निकली। यह भेद है। और यही भेद ज्या की असली कथा है।